Uchim biz
образовательный портал

Хороших методов существует ровно столько, сколько существует хороших учителей. (Д.Пойа)
Анкеты репетиторов

Добавить анкету


ПедСовет
Статьи на uchim.biz



Главная » Статьи » Ученикам » Советы преподавателей

Теория вероятностей в школе.
Приведем теоретический минимум, достаточный для решения задач школьного курса теории вероятностей.
События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.
Несколько событий образует полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.
Рассмотрим пример. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.
События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.
Например, появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события. Действительно, предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.
Пусть в результате испытания наступает одно и только одно из событий wi (i=1,2,… , n). События wi называют элементарными событиями (элементарными исходами). Отсюда следует, что элементарные события wi попарно несовместны. Множество всех элементарных событий, которые могут появиться в испытании, называют пространством элементарных событий W .
Событие A отождествляют с подмножеством пространства W , элементы которого есть элементарные исходы, благоприятствующие A ; событие B есть подмножество W , элементы которого есть исходы, благоприятствующие B и т.д. Таким образом, множество всех событий, которые могут наступить в испытании, есть множество всех подмножеств W. Само W наступает при любом исходе испытания, поэтому W - достоверное событие; пустое подмножество пространства W - невозможное событие (оно не наступает ни при каком исходе испытания). Элементарные события выделяются из числа всех событий тем, что каждое из них содержит только один элемент W.
Каждому элементарному исходу wi ставят в соответствие положительное число pi , называемое вероятностью этого исхода, при этом должно выполняться равенство p1+p2+… +pn=1. По определению, вероятность P(A) события A равна сумме вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих A . Очевидно, вероятность достоверного события равна единице, невозможного – нулю, произвольного – заключена между нулем и единицей.
Рассмотрим важный частный случай, когда все исходы равновозможные. Число исходов равно n, сумма вероятностей всех исходов равна единице; следовательно, вероятность каждого равна 1/n. Пусть событию A благоприятствует m исходов. Тогда вероятность P(A) события A равна сумме вероятностей исходов, благоприятствующих A : P(A)=m/n.
Относительная частота w(A) события A определяется формулой w(A)=m/n, где m - число появлений события А, n - общее число испытаний.
Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события. Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.
Суммой A+B событий A и B называют событие, состоящее в появлении либо только события A , либо только
события B , либо и события A и события B одновременно.
Событием, противоположным событию A , называют событие , которому благоприятствуют все элементарные события, не благоприятствующие событию A.
События называют несовместными, если они не могут происходить одновременно в одном и том же испытании. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш одного игрока в одной партии в шахматы – три несовместных события. События называют совместными, если они могут происходить одновременно. Например, при бросании двух монет выпадение решки на одной не исключает появление решки на другой монете.
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий (появления хотя бы одного события) равна сумме вероятностей этих событий.
Теорема обобщается на любое число попарно несовместных событий.
Следствие 1. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.
Произведением двух событий A и B называется событие, состоящее в совместном выполнении события A и события B.
Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий (появление хотя бы одного события) равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного появления.
Два случайных события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события называют зависимыми.
Теорема 3. Вероятность произведения (совместного появления) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий .
Теорема обобщается на любое число попарно независимых событий.
Следствие 2. Вероятность появления хотя бы одного события из n попарно независимых событий равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным.
Теорема 4. Вероятность произведения (совместного появления) двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло.

С уважением Аркадий Александрович
Категория: Советы преподавателей
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]
Мы рекомендуем

О проекте | Анкеты репетиторов | Обратная связь © 2009 - 2021 uchim.biz - НАЙТИ РЕПЕТИТОРА – ЛЕГКО
24.01.2021 Использование материалов допускается только при наличии активной ссылки Образовательный портал Uchim.biz